Modellierung dynamischer Prozesse mit Differentialgleichungen (DGLs) und deren Parameterschätzung mit dem Excel® Solver

Demonstrationsbeispiele

Zusammenfassung: Dieses Projekt erarbeitet eine Möglichkeit, wie man in Excel® mit Hilfe des implementierten Solver die Parameterschätzung von numerisch gelösten Differentialgleichungen, bzw. -systemen, erfolgreich durchführen kann. Dazu werden Beispiele mit unterschiedlicher Komplexität vorgestellt.

Die Demonstration beginnt mit einem einfachen, zwar an der Pharmakokinetik orientierten, aber mit einem aus künstlichen Zufallsdaten produzierten Beispiel. Es handelt sich um ein Modell mit 3 Kompartimente mit jeweils nichtlinearen Übergängen. Der Inhalt von Kompartiment I (Infusion) mit einer Füllung von 100% entleert sich mit der Rate rd, das zweite Kompartiment D (Digestion, Verdauung) füllt sich mit der Rate , der Inhalt von D entleert sich mit der Rate rk, plus einem Verlustterm rl, Kompartiment 3, B, (Blutkonzentration), füllt sich mit der Rate rk

Abb. 1: Konstrukt des drei Kompartiment Modells

Gleichungssystem des Kompartimentmodells — Gl. 1,2,3: DGLs des Kompartiment Modells

Der VBA Code des Modells ist überschaubar, die Speichervariable y enthält die DGLs:
Sub ODE(y#(), dy#())
dy(1) = -rd * y(1)
dy(2) = rd * y(1) - rk * y(2) - 0.01 * y(2)
dy(3) = rk * y(2)
End Sub

Obiges Modell wird dem VBA Code dem numerischen DGL Integrator (RKF-Methode) zugefügt. Das folgende Beispiel zeigt wie man das Parameterschätzproblem durch manuelles Variieren der notwendigen Parameter angeht:

Video 1: Manuelle Anpassung durch Schieberegler, Schritt 1, Justierung des ersten Parameters, gefolgt von der Anpassung des zweiten Parameters, bis eine zufriedenstellende Übereinstimmung erreicht ist. Anpassungskriterium ist die Summe der drei R²-Werte für jeden einzelnen Fit. Beobachten Sie Zelle S31 (RC_tot) für den Fortschritt

Das folgende Beispiel zeigt wie man das Parameterschätzproblem mit dem Solver löst.

Video 2: Anpassung mit dem Solver, notwendige Schritte: Adressierung der Zielzelle, Auswahl der veränderlichen Parameter, Auswahl der Anpassungsmethode. Starten des Solver und akzeptieren der Lösung. Für den Fall das der Bildschirm nicht automatisch das neue Ergebnis anzeigt, wiederholen Sie den Modelldurchlauf mit den neuen Parameterwerten.

Das weitere Beispiel verdeutlicht den Vorteil die Solverfunktionen direkt in den VBA Code einzubinden.

Video 3: Parameterschätzung mit dem Solver, Kontrolle über den VBA Code

Diese Beispiele demonstrieren eine von zahlreichen anderen Möglichkeiten, inwieweit man in einem Excel-Arbeitsblatt durch die Kombination eines numerischen Integrators (RKF) und Excel DGLs berechnet und deren Parameter geschätzt werden können. Die Verwendung des Solvers ist der "Handanpassung" zu bevorzugen, da die simultane Schätzung aller Parameter zu einem deutlich plausibleren, und vor allem stabileren Ergebnis führt. Das das gewählte Beispiel auch analytisch lösbar ist, wäre das Parameterschätzen auch ohne die RKF-Methode möglich. Das Prinzip ist das gleiche: Reduzierung des Optimierungsproblems auf einen Parameter.